Combinatoria

Cómo se calcula

Todo parte del factorial: n! es el producto de todos los enteros desde n hasta 1, y por definición 0! = 1. Con eso se cuentan las cuatro situaciones habituales, que se distinguen por dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se puede repetir?

• Combinaciones (el orden no importa, sin repetir): C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
• Permutaciones (el orden importa, sin repetir): P(n, k) = n! ÷ (n − k)!
• Con repetición (el orden importa, se puede repetir): nᵏ
• Factorial (todos los órdenes de n elementos): n! = n × (n − 1) × … × 1

La calculadora trabaja con enteros exactos hasta n = 170. Sobre 10²¹ muestra el número en notación científica y dice cuántas cifras tiene, porque el valor completo ya no cabe en pantalla.

Ejemplo

En el Loto se eligen 6 números de 41 y da lo mismo en qué orden salgan: C(41, 6) = 41! ÷ (6! × 35!) = 4.496.388. Esa es la cantidad de cartones distintos, y por eso la probabilidad de acertar el premio mayor con un cartón es 1 en 4.496.388. En el Kino son 14 números de 25: C(25, 14) = 4.457.400. Una clave de 4 dígitos, en cambio, permite repetir y el orden importa: 10⁴ = 10.000 claves posibles. Y un podio de tres lugares entre 8 corredores es P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Combinación o permutación

Si al cambiar el orden obtienes lo mismo, es una combinación: un cartón de Loto, un equipo de 5 personas, tres sabores en un helado. Si al cambiar el orden obtienes algo distinto, es una permutación: el podio de una carrera, una clave, los asientos en una fila. Las permutaciones siempre son más que las combinaciones con los mismos n y k, exactamente k! veces más, porque cada grupo se puede ordenar de k! maneras.

Lo que no incluye

No calcula probabilidades con premios parciales (por ejemplo, acertar 4 de 6 en el Loto) ni combinaciones con elementos repetidos donde el orden no importa. Para pasar un «1 en 4.496.388» a porcentaje está la calculadora de porcentaje, y para el valor esperado de varios intentos, la de promedio.

Preguntas frecuentes

¿Por qué 0! es 1?

Porque hay exactamente una forma de ordenar cero elementos: no hacer nada. Además es lo que hace que las fórmulas funcionen en los bordes: C(n, 0) = 1 y C(n, n) = 1 necesitan que 0! valga 1.

¿Cuál es la probabilidad de ganar el Loto?

Con un cartón de 6 números, 1 entre 4.496.388, cerca de 0,000022%. Comprar dos cartones distintos la duplica, pero sigue siendo 1 entre 2,2 millones. Los premios por acertar menos números tienen sus propias cuentas, que combinan aciertos y no aciertos.

¿Por qué el máximo es 170?

170! tiene 307 cifras y es el último factorial que cabe en un número de computador; con 171 ya no se puede ni mostrar. Para problemas escolares y sorteos sobra: el Kino usa n = 25 y el Loto, 41.

¿Cuántas claves de 6 dígitos hay?

10⁶ = 1.000.000, del 000000 al 999999. Si la clave mezcla letras y números sin distinguir mayúsculas, son 36 símbolos: 36⁶ = 2.176.782.336. Cada símbolo extra multiplica las opciones, por eso una clave larga cuesta tanto más adivinar.