Matemáticas
Calcula combinaciones, permutaciones, variaciones con repetición y factoriales exactos, con el Loto y el Kino como ejemplos.
Entero de 0 a 170
Combinaciones posibles
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Ingresa n y k para ver cuántos grupos distintos se pueden formar.
Todo parte del factorial: n! es el producto de todos los enteros desde n hasta 1, y por definición 0! = 1. Con eso se cuentan las cuatro situaciones habituales, que se distinguen por dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se puede repetir?
La calculadora trabaja con enteros exactos hasta n = 170. Sobre 10²¹ muestra el número en notación científica y dice cuántas cifras tiene, porque el valor completo ya no cabe en pantalla.
En el Loto se eligen 6 números de 41 y da lo mismo en qué orden salgan: C(41, 6) = 41! ÷ (6! × 35!) = 4.496.388. Esa es la cantidad de cartones distintos, y por eso la probabilidad de acertar el premio mayor con un cartón es 1 en 4.496.388. En el Kino son 14 números de 25: C(25, 14) = 4.457.400. Una clave de 4 dígitos, en cambio, permite repetir y el orden importa: 10⁴ = 10.000 claves posibles. Y un podio de tres lugares entre 8 corredores es P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.
Si al cambiar el orden obtienes lo mismo, es una combinación: un cartón de Loto, un equipo de 5 personas, tres sabores en un helado. Si al cambiar el orden obtienes algo distinto, es una permutación: el podio de una carrera, una clave, los asientos en una fila. Las permutaciones siempre son más que las combinaciones con los mismos n y k, exactamente k! veces más, porque cada grupo se puede ordenar de k! maneras.
No calcula probabilidades con premios parciales (por ejemplo, acertar 4 de 6 en el Loto) ni combinaciones con elementos repetidos donde el orden no importa. Para pasar un «1 en 4.496.388» a porcentaje está la calculadora de porcentaje, y para el valor esperado de varios intentos, la de promedio.
Porque hay exactamente una forma de ordenar cero elementos: no hacer nada. Además es lo que hace que las fórmulas funcionen en los bordes: C(n, 0) = 1 y C(n, n) = 1 necesitan que 0! valga 1.
Con un cartón de 6 números, 1 entre 4.496.388, cerca de 0,000022%. Comprar dos cartones distintos la duplica, pero sigue siendo 1 entre 2,2 millones. Los premios por acertar menos números tienen sus propias cuentas, que combinan aciertos y no aciertos.
170! tiene 307 cifras y es el último factorial que cabe en un número de computador; con 171 ya no se puede ni mostrar. Para problemas escolares y sorteos sobra: el Kino usa n = 25 y el Loto, 41.
10⁶ = 1.000.000, del 000000 al 999999. Si la clave mezcla letras y números sin distinguir mayúsculas, son 36 símbolos: 36⁶ = 2.176.782.336. Cada símbolo extra multiplica las opciones, por eso una clave larga cuesta tanto más adivinar.