MCD y MCM

Cómo se calcula

El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exacto a todos los números de la lista. El mínimo común múltiplo (MCM) es el número más chico que es múltiplo de todos. Los dos salen de la factorización prima:

MCD = primos comunes, con el menor exponente MCM = todos los primos, con el mayor exponente

Con 48 = 2⁴ × 3 y 18 = 2 × 3², los primos comunes son 2 y 3. Para el MCD se toma cada uno con su menor exponente: 2 × 3 = 6. Para el MCM se toman todos con el mayor exponente: 2⁴ × 3² = 144. Con dos números se cumple además que MCD × MCM = a × b (6 × 144 = 48 × 18), lo que da un atajo:

MCM(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b)

El algoritmo de Euclides

Factorizar números grandes es lento. El algoritmo de Euclides encuentra el MCD sin factorizar: se divide el número mayor por el menor, luego el divisor por el resto, y así hasta que el resto sea 0. El último resto distinto de 0 es el MCD. Para 1.071 y 462:

1.071 = 2 × 462 + 147 462 = 3 × 147 + 21 147 = 7 × 21 + 0

El MCD es 21. Con tres o más números el algoritmo se aplica de a pares: el MCD de los dos primeros se combina con el tercero, y así sucesivamente. La calculadora muestra esas divisiones para que puedas copiarlas en una tarea.

Para qué sirve

El MCM es el denominador común para sumar o restar fracciones: 1/4 + 1/6 se resuelve con 12, que es el MCM de 4 y 6. El MCD sirve para simplificarlas: 18/48 se reduce dividiendo arriba y abajo por 6, y queda 3/8. La calculadora de fracciones hace las dos cosas de una vez.

También aparece en problemas de la vida diaria. Si un bus pasa cada 12 minutos y otro cada 18, los dos coinciden en el paradero cada 36 minutos (el MCM). Si tienes 48 lápices y 18 gomas y quieres armar estuches iguales sin que sobre nada, el máximo son 6 estuches (el MCD), cada uno con 8 lápices y 3 gomas.

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si los números son primos entre sí?

Cuando el único divisor común es 1, los números son primos entre sí o coprimos, aunque ninguno sea primo: 8 y 9 lo son. Su MCD es 1 y, si son solo dos, el MCM es el producto.

¿Puedo usar el 0, negativos o decimales?

No. El MCD y el MCM se definen para enteros positivos. El 0 es múltiplo de todo y haría que el MCM fuera siempre 0; con negativos el resultado sería el mismo que con sus valores positivos, así que la calculadora pide directamente enteros mayores que 0.

¿Cuántos números puedo ingresar?

De dos a seis, de hasta 12 cifras cada uno. Si el MCM resulta demasiado grande para calcularlo exacto, la calculadora lo dice en vez de mostrar un número redondeado.

¿MCD × MCM = a × b también con tres números?

No, esa relación solo vale para dos números. Con 6, 10 y 15 el MCD es 1 y el MCM es 30, pero el producto es 900. Para tres o más, el MCM se obtiene combinando de a pares o con la factorización prima.