Ecuación cuadrática

Cómo se calcula

Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, tiene la forma ax² + bx + c = 0 con a distinto de 0. Sus soluciones salen de la fórmula general:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

Lo que va dentro de la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante y decide cuántas soluciones hay. Si es positivo, hay dos soluciones reales distintas. Si es 0, la raíz desaparece y las dos soluciones son el mismo número: una raíz doble. Si es negativo, no existe raíz real y las soluciones son números complejos de la forma p ± qi.

La calculadora entrega además el vértice de la parábola, que está en x = −b ÷ 2a, y la forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂), que es la ecuación escrita a partir de sus soluciones. Como comprobación, la suma de las soluciones es −b ÷ a y el producto es c ÷ a.

Ejemplo

Para 2x² − 4x − 6 = 0, los coeficientes son a = 2, b = −4 y c = −6. El discriminante es (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64, y su raíz es 8. Entonces x = (4 ± 8) ÷ 4, que da x₁ = 3 y x₂ = −1. La forma factorizada es 2(x − 3)(x + 1), y el vértice está en (1; −8): la parábola abre hacia arriba y ese es su punto más bajo.

Con x² + 2x + 5 = 0 el discriminante es 4 − 20 = −16, negativo. La ecuación no tiene soluciones reales; en los complejos, x = −1 ± 2i, porque √(−16) = 4i y se divide por 2.

Cuando a es 0

Si a vale 0, desaparece el término x² y la ecuación deja de ser cuadrática: queda bx + c = 0, que es lineal y se resuelve despejando x = −c ÷ b. La calculadora lo detecta y entrega esa solución, sin discriminante ni vértice, porque ya no hay parábola. Si además b es 0, no queda incógnita: 0 = 0 se cumple siempre y c = 0 con c distinto de 0 no se cumple nunca.

Preguntas frecuentes

¿Cómo escribo una ecuación a la que le falta un término?

Deja ese coeficiente en blanco o en 0. Para x² − 9 = 0 escribe a = 1, b vacío y c = −9; las soluciones son 3 y −3. Para 3x² + 6x = 0, c queda vacío y las soluciones son 0 y −2.

¿Qué hago si la ecuación no está igualada a 0?

Pasa todo a un lado restando. Si tienes 2x² + 3x = 5, es lo mismo que 2x² + 3x − 5 = 0, así que a = 2, b = 3 y c = −5. Si hay términos repetidos, júntalos antes: x² + 2x − x = 4 se convierte en x² + x − 4 = 0.

¿Puedo usar coeficientes con decimales o fracciones?

Decimales sí, con coma o con punto. Una fracción escríbela como decimal (1/2 es 0,5) o multiplica toda la ecuación por el denominador para dejar enteros; si necesitas convertir antes, usa la calculadora de fracciones.

¿Por qué las soluciones aparecen con ≈?

Porque son números irracionales cortados a cuatro decimales, como en x² − 2 = 0, cuyas soluciones son ±√2 ≈ ±1,4142. Para ver una raíz con más decimales usa la calculadora de raíz cuadrada.