Raíz cuadrada

Cómo se calcula

La raíz cuadrada de un número es el número que, multiplicado por sí mismo, lo produce. La raíz cúbica es el que lo produce al elevarlo al cubo, y así con cualquier índice.

√x = r si r × r = x ⁿ√x = r si rⁿ = x

Así, √144 = 12 porque 12 × 12 = 144, y ∛27 = 3 porque 3 × 3 × 3 = 27. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa: (−12) × (−12) también da 144. Por convención, el símbolo √ indica la positiva, llamada raíz principal, y la calculadora muestra la negativa como dato aparte.

La raíz aparece con hasta seis decimales. Cuando el número es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25, 36…) la raíz es exacta. Cuando no lo es, como √2 = 1,41421356…, la raíz es un número irracional: sus decimales no terminan ni se repiten, y lo que ves es un corte. La verificación al lado del resultado muestra cuánto se aleja ese corte del número original.

Números negativos

Un número negativo no tiene raíz cuadrada real, porque cualquier número real al cuadrado da positivo o cero. Lo mismo pasa con la raíz cuarta y con cualquier índice par. En los números complejos sí existe, con la unidad imaginaria i, que cumple i² = −1:

√(−x) = √x · i

De modo que √(−4) = 2i. Con índice impar la raíz de un negativo sí es real y es negativa: ∛(−8) = −2, porque (−2) × (−2) × (−2) = −8. Es lo que aparece al resolver una ecuación cuadrática con discriminante negativo.

Ejemplo

Un terreno cuadrado tiene 225 metros cuadrados. Como el área de un cuadrado es lado × lado, cada lado mide √225 = 15 metros. Si el área fuera 200 m², el lado sería √200 ≈ 14,142136 metros: no hay un número exacto de metros que cuadre, y en la práctica se redondea a 14,14.

La raíz también aparece al calcular la hipotenusa con el teorema de Pitágoras: con catetos de 6 y 8, la hipotenusa es √(36 + 64) = √100 = 10.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se saca una raíz cuadrada a mano?

La forma rápida es acotar entre cuadrados perfectos y afinar. Para √50: 7² = 49 y 8² = 64, así que está entre 7 y 8, muy cerca de 7. Probando 7,1² = 50,41, ya se pasa; con 7,07² = 49,98 queda por debajo. La raíz es 7,0710678…, y cada prueba agrega un decimal.

¿Puedo sacar la raíz de un decimal o de una fracción?

Sí. √0,25 = 0,5 y √2,25 = 1,5, las dos exactas. Para una fracción, saca la raíz de arriba y de abajo por separado: √(9/16) = 3/4. Si la fracción no se deja, conviértela a decimal con la calculadora de fracciones y pega el resultado aquí.

¿Qué es el índice de la raíz?

Es el número chico sobre el signo: indica a qué potencia hay que elevar el resultado para volver al número original. En la raíz cuadrada el índice es 2 y no se escribe; en la cúbica es 3 (∛), en la cuarta es 4 (∜) y en la quinta es 5 (⁵√).

¿Por qué la calculadora del celular da error con un negativo?

Porque trabaja solo con números reales y √(−4) no existe ahí. No es un error tuyo: la respuesta está en los complejos, 2i, y esta calculadora la muestra.